El diagrama de Nyquist nos permite predecir la estabilidad y la performance de un sistema a lazo cerrado observando su comportamiento a lazo abierto. El criterio de Nyquist puede usarse para propósitos de diseño independientemente de la estabilidad a lazo abierto (recuerde que los métodos de diseño de Bode asumen que el sistema es estable a lazo abierto). Por lo tanto, usamos este criterio determinar estabilidad a lazo cerrado cuando los diagramas de Bode muestran información confusa. La siguiente animación le ayudará a visualizar las relaciones entre el diagrama de Bode y el Diagrama de Nyquist.
El Diagrama de Nyquist is básicamente un gráfico de G(j*w) donde G(s) es la función de transferencia a lazo abierto y w es un vector de frecuencias que encierra todo el semiplano derecho. Las frecuencias positivas y negativas (desde cero a infinito) se tienen en cuenta para dibujar el Diagrama de Nyquist. Representaremos frecuencias positivas en rojo y frecuencias negativas en verde. El vector frecuencia que se usa para dibujar el Diagrama de Nyquist normalmente es esto (si puede imaginar que el dibujo se extiende a infinito):
Para ver más claro cómo contribuye el vector frecuencia en el Diagrama de Nyquist , puede mirar nuestra animación.Sin embargo, si tenemos polos a lazo abierto o ceros en el eje jw, G(s) no estará definida en esos puntos, y debemos contornearlos cuando graficamos. Tal diagrama se ve como sigue:
Note que el contorno rodea el polo en el eje jw. Como mencionáramos, el comando nyquist no tiene en cuenta a los polos o ceros en el eje jw y por lo tanto produce un diagrama incorrecto. Para corregirlo, sírvase descargar y usar nyquist1.m.
Si tenemos un polo en el eje jw, tenemos que usar nyquist1. Si no habrán polos o ceros en el eje jw, o si tenemos cancelación polo-cero, podemos usar ya sea el comando nyquist o el comando nyquist1.m.
El criterio de Cauchy
El criterio de Cauchy (del análisis complejo) establece que cuando se recorre un camino cerrado en el plano complejo, y se lo mapea através de una función compleja G(s), la cantidad de veces que el gráfico de G(s) rodea el origen es igual a la cantidad de ceros de G(s) menos la cantidad de polos de G(s) encerrados por el camino de frecuencias . Los rodeos al origen se cuentan como positivos si están en la misma direction que el camino cerrado original o negativos si están en la dirección contraria.Cuando se estudia control realimentado, no estamos interesados en G(s) tanto como en la función de transferencia a lazo cerrado:
G(s) --------- 1 + G(s) Por lo tanto, el comportamiento del Diagrama de Nyquist alrededor de -1 es muy importante; sin embargo, los ejes en el diagrama estándar de nyquist pudieran hacer difícil ver lo que está pasando alrededor de este punto. Para corregirlo, puede agregar la función lnyquist1.m a sus archivos. El comando lnyquist1.m dibuja el diagrama de Nyquist usando escala logarítmica y preserva las características del punto -1.
Para ver un diagrama de Nyquist simple con Matlab, definiremos la siguiente función de transferencia:
0.5 ------- s - 0.5 nyquist (0.5,[1 -0.5]) 
s + 2 ----- s^2 nyquist([1 2], [1 0 0]) 
nyquist1([1 2], [1 0 0]) 
lnyquist1([1 2], [1 0 0]) 
Note que el diagrama de nyquist no es el correcto, el diagrama de nyquist1 es el correcto, pero es difícil ver qué sucede cerca del punto -1, y el diagrama lnyquist1 es correcto y posee escala apropiada.
Estabilidad a Lazo Cerrado
Considere el sistema con relimentación negativa:
- los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia a lazo cerrado
- los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia a lazo abierto .
- P = la cantidad de polos a lazo abierto (inestables) de G(s)H(s)
- N = la cantidad de veces el Diagrama de Nyquist rodea -1
-
- rodeos a -1 a-reloj cuentan como positivos
-
- rodeos a -1 contra-reloj cuentan como negativos
-
- Z = la cantidad de polos en semiplano derecho (positivo, real) del sistema a lazo cerrado
Z = P + N Nota: Esta es sólo una convención para el criterio de Nyquist. Otra convención establece que un N positivo cuenta (counter-clockwise) rodeos contra-reloj a -1. Las variables P y Z permanecen iguales. En este caso la ecuación es Z = P - N. En estas guías disácticas, usaremos el signo positivo para rodeos a-reloj.
Es muy importante (y con alguna triquiñuela) aprender a contar la cantidad de veces que el diagrama rodea -1. Por lo tanto, detallaremos un poco para ayudarle a visualizar esto. Puede view this animación as an ejemplo.Conociendo la cantidad de polos a lazo abierto en el semiplano derecho (inestables) (P), y la cantidad de rodeos a -1 hechos por el Diagrama de Nyquist (N), podemos determinar la estabilidad del sistema a lazo cerrado . Si Z = P + N es un número positivo no nulo, el sistema es inestable a lazo cerrado. Podemos también usar el Diagrama de Nyquist para hallar el rango de ganancias para que el sistema con realimentación unitaria sea estable a lazo cerrado. El sistema que probaremos se ve así:
Otra forma de verlo es imaginarse sentado sobre el punto -1 y seguir el diagrama del principio al final. Ahora pregúntese: Cuántas veces giré la cabeza 360 grados completos? De nuevo, si el movimiento fué a-reloj, N es positivo, y si el movimiento fué contra-reloj, N es negativo.
s^2 + 10 s + 24 --------------- s^2 - 8 s + 15 roots([1 -8 15]) ans = 5 3Los polos de la función de transferencia a lazo abierto son ambos positivos. Por lo tanto, necesitamos dos rodeos contra-reloj (N = -2) del Diagrama de Nyquist para tener un sistema estable a lazo cerrado (Z = P + N). Si la cantidad de rodeos es menor que dos o los rodeos no son contra-reloj, nuestro sistema será inestable. Miremos nuestro Diagrama de Nyquist para una ganancia de 1:
nyquist([ 1 10 24], [ 1 -8 15]) 
hay dos rodeos en contra-reloj a -1. Por lo tanto, el sistema es estable para una ganancia de 1. Ahora veamos cómo se comporta el sistema si incrementáramos la ganancia a 20:
nyquist(20*[ 1 10 24], [ 1 -8 15]) 
El diagrama se expandió. Por lo tanto, sabemos que el sistema será estable sin importar qué tanto incrementamos la ganancia. Sin embargo, si decrementáramos la ganancia, el diagrama se contraerá y el sistema puede volverse inestable. Veamos qué sucede para una ganancia de 0.5:
nyquist(0.5*[ 1 10 24], [ 1 -8 15]) 
El sistema ahora es inestable. Por prueba y error encontramos que este sistema se inestabilizará con ganancias menores que 0.80. Podemos verificar nuestras respuestas ya sea agrandando con zoom los diagramas de Nyquist; como mirando las respuestas al escalón a lazo cerrado para ganancias de 0.79, 0.80, and 0.81.
Si tiene problemas para contar los rodeos de Nyquist, le sugerimos usar nyquist1. El número de rodeos en contra-reloj se verá en su pantalla (recuerde que este número representa realmente N negativos, e.d.. Si nyquist1 muestra 2, es N = -2) así como la cantidad de POLOS REALES positivos a lazo abierto y cerrado .
Margen de Ganancia
Ya hemos definido el margen de ganancia como el cambio en la ganancia a lazo abierto expresada en decibeles (dB), requerida a 180 grados de fase para hacer inestable el sistema . Ahora veamos de donde surge esto. Antes que nada, digamos que tenemos un sistema que es estable con lo que no habrán rodeos de Nyquist a -1, como:Mirando las raíces, encontramos que no tenemos polos a lazo abierto en el semiplano derecho y si no hubiesen rodeos de Nyquist a -1, tampoco polos a lazo cerrado en el semiplano derecho . Ahora, cuánto podemos variar la ganancia antes que este sistema sea inestable a lazo cerrado? Observemos la siguiente figura:50 ----------------------- s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40
El sistema a lazo abierto representado por esta figura se inestabilizará a lazo cerrado si la ganancia se aumenta pasado un cierto límite. El segmento de eje real negativo entre -1/a (definido como el punto donde ocurre el cambio de fase de 180 grados...esto es, donde el diagrama cruza el eje real) y -1 representa el incremento en ganancia que puede tolerarse antes de la instabilidad a lazo cerrado.
Si lo pensamos, nos daremos cuenta que si la ganancia es igual a a, el diagrama tocará el punto -1:
Por lo tanto, decimos que margen de ganancia es de 'a' unidades. Sin embargo, habíamos mencionado que el margen de ganancia se mide normalmente en decibeles. Por lo que, margen de ganancia es :G(jw) = -1/a = a*G(jw) = a* -1/a => a*G(jw) = -1
Hallaremos ahora el margen de ganancia de la función de transferencia a lazo abierto estable que habíamos visto antes. Recordemos que la función es:GM = 20*log10(a) [dB]
y que el Diagrama de Nyquist puede verse tipeando:50 ----------------------- s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40
nyquist (50, [1 9 30 40 ])
Como hemos discutido anteriormente, todo lo que tenemos que hacer para hallar margen de ganancia es encontrar 'a', como lo definimos en la figura anterior. Para hacerlo, necesitamos hallar el punto dosnde hay exactamente 180 grados de fase. Esto significa que la función de transferencia en este punto es real (no posee parte imaginaria). El numerador también es real, por lo que solo debemos mirar el denominador. Cuando s = j*w, los únicos términos en el denominador que tendrán parte imaginaria son aquellos que son potencias impares de s. Por lo tanto, para que G(j*w) sea real, se debe tener:
lo que significa w=0 (este es el punto más a la derecha en la Diagrama de Nyquist) o w=sqrt(30). Podemos entonces hallar el valor de G(j*w) en ese punto usando polyval:-j w^3 + 30 j w = 0
La respuesta es: -0.2174 + 0i. La parte imaginaria es cero, así que sabemos que la respuesta es correcta. Podemos también verificarlo mirando el diagrama de Nyquist de nuevo. La parte real también tiene sentido. Ahora podemos proceder y hallar margen de ganancia.polyval(50,j*w)/polyval([1 9 30 40],j*w)
Encontramos que la fase 180 grados ocurre en -0.2174 + 0i. Este punto fué previamente definido como -1/a. Por lo tanto, ya tenemos 'a', que es el margen de ganancia. Sin embargo, necesitamos expresar margen de ganancia en decibeles,
-1/a = -0.2174 => a = 4.6 => GM = 20*log10( 4.6) = 13.26 dB
a = 4.6 nyquist(a*50,[1 9 30 40])
http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/nyq.html
Publicado por Geraldine Linares
CRF
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